Испытание Бернулли

Испытание Бернулли — это простой случайный эксперимент, в котором возможны только два исхода: успех или неудача. Например, при подбрасывании монетки успехом можно считать выпадение "орла", а неудачей — "решки". Давайте разберём основные моменты этой темы.

Основные характеристики испытания Бернулли

1. Два возможных исхода:
   • Успех (обозначается как $A$).
   • Неудача (обозначается как $\overline{A}$).
2. Вероятности исходов:
   • Вероятность успеха: $P(A)=p$.
   • Вероятность неудачи: $P(\overline{A})=1-p=q$.
3. Независимость испытаний:
   • Результат одного испытания не влияет на результат другого.
4. Постоянство вероятностей:
   • Вероятности успеха ($p$) и неудачи ($q$) остаются неизменными во всех испытаниях.

Пример испытания Бернулли

• Подбрасывание монеты:
  • Успех: выпадение орла ($p=0.5$).
  • Неудача: выпадение решки ($q=0.5$).
• Подбрасывание кубика:
  • Успех: выпадение числа 6 ($p=\frac{1}{6}$).
  • Неудача: выпадение любого другого числа ($q=\frac{5}{6}$).

Схема Бернулли

Если мы повторяем одно и то же испытание $n$ раз, то это называется схемой Бернулли. Например, если мы подбрасываем монету 10 раз, то это серия из 10 независимых испытаний Бернулли.

Формула Бернулли

Формула позволяет вычислить вероятность того, что событие $A$ произойдёт ровно $k$ раз в $n$ испытаниях:

где:

• $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$,
• $p^k$ — вероятность успеха в $k$ испытаниях,
• $q^{n-k}$ — вероятность неудачи в оставшихся $n-k$ испытаниях.

Пример задачи

Задача: Монету подбросили 3 раза. Какова вероятность того, что "орёл" выпадет ровно 2 раза?

Решение:

1. Здесь:

   • $n=3$,
   • $k=2$,
   • $p=0.5$,
   • $q=0.5$.

2. Подставляем в формулу:

   $$P(2)=C_3^2\cdot (0.5{)}^2\cdot (0.5{)}^1.$$

3. Считаем:

   • $C_3^2=\frac{3!}{2!(3-2)!}=3$,
   • $P(2)=3\cdot (0.25)\cdot (0.5)=\mathrm{0.375.}$

Ответ: Вероятность того, что "орёл" выпадет ровно 2 раза, равна 0.375 или 37.5%.

Испытания Бернулли помогают моделировать множество реальных ситуаций, например, вероятность выигрыша в лотерее, успешного завершения эксперимента или дефекта продукции на заводе!

Citations: [1] https://resh.edu.ru/subject/lesson/4929/conspect/ [2] https://ru.statisticseasily.com/%D0%B3%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B9/%D1%87%D1%82%D0%BE-%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5-%D0%B8%D1%81%D0%BF%D1%8B%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8-%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2/ [3] https://mse.msu.ru/wp-content/uploads/2020/11/%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F-4.-%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8-%D0%B8-%D0%9F%D1%83%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0.pdf [4] https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 [5] https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8 [6] https://www.youtube.com/watch?v=FWRXB9s67Tw [7] https://www.yaklass.ru/p/veroyatnost-i-statistika/9-klass/ispytaniia-bernulli-7365901/ispytaniia-bernulli-veroiatnosti-sobytii-v-serii-ispytanii-7338265/re-87fc196e-6e9b-4914-b452-c8f93216b4d6 [8] http://mathprofi.ru/nezavisimye_ispytanija_i_formula_bernulli.html [9] https://www.yaklass.ru/p/veroyatnost-i-statistika/9-klass/ispytaniia-bernulli-7365901/ispytanie-uspekh-i-neudacha-seriia-ispytanii-do-pervogo-uspekha-7332392/re-1adb749d-4874-462f-8469-2ccd358de9dd [10] https://www.fujielectric.fr/wp-content/uploads/2024/07/formule-equation-de-bernoulli-en.png?x19784=&sa=X&ved=2ahUKEwj2gMPY38WMAxWWM9AFHQSUHHEQ_B16BAgBEAI

Answer from Perplexity: pplx.ai/share